因為AB=BA=E(單位陣),B是A的逆矩陣,所以|AB|=|BA|=1。當(dāng)A是方陣時,|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,有|B|=1/|A|。所以逆矩陣的行列式等于行列式的倒數(shù)。

逆矩陣的性質(zhì)

1、可逆矩陣A的逆矩陣A?1的逆矩陣為A。即(A?1)?1=A

2、如果矩陣A可逆，那么(kA)?1=A?1/k

3、如果矩陣A和B都是可逆矩陣，那么(AB)?1=B?1A?1

4、如果矩陣A可逆，那么(A?)?1=(A?1)?

5、如果矩陣A可逆，那么(A?)?1=(A?1)?

6、如果矩陣A是可逆矩陣，那么|A?1|=|A|?1

可逆矩陣的定義及其證明方法

可逆矩陣是線性代數(shù)中的一個矩陣，其定義為在線性代數(shù)中，給定一個n階方陣A，若存在一n階方陣B，使得AB=BA=In（或AB=In、BA=In任滿足一個），其中In為n階單位矩陣，則稱A是可逆的，且B是A的逆陣，記作A^(-1)。

判斷矩陣可逆的方法通常有:

(1)定義法，即:若存在矩陣B,使得AB=E，則A可逆;

(2)利用矩陣可逆的判別條件，即:若|A|≠0，則A可逆。

若矩陣A可逆，求A的逆矩陣通常有如下幾種方法:

(1)定義法，與A之積為單位矩陣的矩陣即A的逆矩陣;

(2)伴隨矩陣法,A-'=ATA" (該方法運(yùn)算量大，一般不適用于階數(shù)較高的矩陣求逆矩陣);

(3)初等變換法，即(A : E)→(E :A-1);