臺山一中2024屆高三第一次月考數(shù)學(xué)試題

2023-08

一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1. 設(shè)集合，，則（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.

【詳解】因為，

，

所以.

故選：B.

2. 已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的運算化簡復(fù)數(shù)，再求共軛復(fù)數(shù)即可.

【詳解】因為，所以.

故選：B.

3. “”是“方程有正實數(shù)根”的（    ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)零點幾何意義，將方程有正根問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)求零點問題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】由方程有正實數(shù)根，則等價于函數(shù)有正零點，

由二次函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)只能存在一正一負(fù)的兩個零點，

則，解得，

故選：B.

4. 已知，則函數(shù)的最小值為

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】先分離，再根據(jù)基本不等式求最值，即得結(jié)果.

【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.

選A

【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

5. 展開式中含的系數(shù)是（    ）

A. 28 B.  C. 84 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)展開式的通項，分別求出展開式中含、、的項的系數(shù)，即可得出答案.

【詳解】展開式的通項為，.

當(dāng)選取時，由已知可得，應(yīng)選取展開式中含的項，

由，可得；

當(dāng)選取時，由已知可得，應(yīng)選取展開式中含的項，

由，可得；

當(dāng)選取時，由已知可得，應(yīng)選取展開式中含的項，

由，可得.

所以，展開式中含的系數(shù)是.

故選：C.

6. 2023年武漢馬拉松于4月16日舉行，組委會決定派小王、小李等6名志愿者到甲乙兩個路口做引導(dǎo)員，每位志愿者去一個路口，每個路口至少有兩位引導(dǎo)員，若小王和小李不能去同一路口，則不同的安排方案種數(shù)為（    ）

A. 40 B. 28 C. 20 D. 14

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先分配特殊的兩個人，再將剩余4個人分到兩個路口，按照分組分配相關(guān)知識進(jìn)行計算即可.

【詳解】若小王在1號路口，小李在2號路口，則剩余4個人分到兩個路口，

兩個路口為人分布，共有種方案，

兩個路口為人分布，共有種方案，

此時共有種方案；

同理若小王在2號路口，小李在1號路口，也共有種方案.

所以一共有28種不同的安排方案種數(shù).

故選：B

7. 設(shè)，則（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可判斷.

【詳解】當(dāng)時，記，則 ，故在單調(diào)遞增，故，因此得當(dāng)時， ，故，即；

，設(shè)，則，因為，

當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以．

故選：A

8. 設(shè)函數(shù)的值域為A，若，則的零點個數(shù)最多是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】分別求出各段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象分類討論，分別求出函數(shù)的零點個數(shù)，即可判斷；

【詳解】解：令，則在上單調(diào)遞減；

令，則．由，得或；

由，得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

于是，的極大值為，極小值為．在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖象，如下圖：

顯然；由，得；由的解析式，得．

（1）若，當(dāng)時，，不符合題意；

（2）若，當(dāng)時，，不符合題意；

（3）若，

①當(dāng)時，；

②當(dāng)時，，即．

由①②，時符合題意．

此時，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，在上沒有零點，在上有2個零點；

當(dāng)時，在上有1個零點，在上有1個或2個零點，

綜上，最多有3個零點．

故選：C．

二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）

9. 《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》是國家學(xué)校教育工作的基礎(chǔ)性指導(dǎo)文件和教育質(zhì)量基本標(biāo)準(zhǔn)，它適用于全日制普通小學(xué)、初中、普通高中、中等職業(yè)學(xué)校、普通高等學(xué)校的學(xué)生.某高校組織名大一新生進(jìn)行體質(zhì)健康測試，現(xiàn)抽查200名大一新生的體測成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間為，，，，，．則下列說法正確的是（    ）

A. 估計該樣本的眾數(shù)是

B. 估計該樣本的均值是

C. 估計該樣本的中位數(shù)是

D. 若測試成績達(dá)到分方可參加評獎，則有資格參加評獎的大一新生約為人

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，可判斷A項；根據(jù)頻率分布直方圖，估計出平均數(shù)，可判斷B項；根據(jù)頻率分布直方圖，估計出中位數(shù)，可判斷C項；根據(jù)頻率分布直方圖，測試成績達(dá)到分的頻率為，即可估算有資格參加評獎的人數(shù).

【詳解】對于A項，由頻率分布直方圖可得，最高小矩形為，所以可估計該樣本的眾數(shù)是，故A項正確；

對于B項，由頻率分布直方圖，可估計該樣本的均值是，故B項錯誤；

對于C項，由頻率分布直方圖可得，成績在之間的頻率為，

在之間的頻率為，

所以可估計該樣本的中位數(shù)在內(nèi).

設(shè)中位數(shù)為，則由可得，，故C項正確；

對于D項，由頻率分布直方圖可得，測試成績達(dá)到分的頻率為，所以可估計有資格參加評獎的大一新生約為人，故D項正確.

故選：ACD.

10. 已知非零實數(shù)a，b滿足，則下列不等關(guān)系一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用不等式的性質(zhì)及特殊值法判斷即可．

【詳解】解：對于非零實數(shù)，滿足，則，

即，故A一定成立；

因為，故B一定成立；

又，即，所以，故C一定成立；

對于D：令，，滿足，此時，故D不一定成立．

故選：ABC

11. 下列關(guān)于概率統(tǒng)計說法中正確的是（    ）

A. 兩個變量的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱

B. 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則

C. 在回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的更好

D. 某人在次答題中，答對題數(shù)為，，則答對題的概率最大

【答案】BCD

【解析】

【分析】由相關(guān)系數(shù)，正態(tài)分布，二項分布的概念判斷．

【詳解】對于A，兩個變量的相關(guān)系數(shù)為，越小，與之間的相關(guān)性越弱，故A錯誤，

對于B，隨機變量服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布概念知若，則，故B正確，

對于C，在回歸分析中，越接近于，模型的擬合效果越好，所以為的模型比為的模型擬合的更好，故C正確，

對于D，某人在次答題中，答對題數(shù)為，，則數(shù)學(xué)期望，說明答對題的概率最大，故D正確．

故選：BCD

12. 已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】令，得到，推得為偶函數(shù)，得到的圖象關(guān)于對稱，再利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)，

令，則，可得，

可得，

所以為偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，

又由，令，

可得，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，且，

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即時，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，即時，單調(diào)遞減，

由不等式，可得，即

所以不等式恒成立，即恒成立，

所以的解集為，所以且，

解得，結(jié)合選項，可得BC適合.

故選：BC.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵是利用換元法設(shè)，從而得到，證明其為偶函數(shù)，則得到的圖象關(guān)于對稱，再結(jié)合其單調(diào)性即可得到不等式組，解出即可.

三、填空題（本大題共4小題，共20分）

13. 若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值為______．

【答案】

【解析】

【分析】由命題的否定轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題知命題的否定“”是真命題．令，則 解得，故實數(shù)的最大值為

故答案為：

14. 已知向量滿足，則與的夾角為___________.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】由，

，

故答案為：

15. 已知，為橢圓C的兩個焦點，P為C上一點，若，則C的離心率為______．

【答案】．

【解析】

【分析】利用橢圓的定義及，得到，進(jìn)而得解.

【詳解】為橢圓上一點，由橢圓的定義知，，

因為，

所以，所以.

故答案為：.

【點睛】本題考查橢圓的離心率的求解及橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題.

16. 某校決定從高一、高二兩個年級分別抽取100人、60人參加演出活動，高一100人中女生占，高二60人中女生占，則從中抽取1人恰好是女生的概率為______．

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)條件概率公式即可求解.

【詳解】用分別表示取的一人是來自高一和高二，表示抽取一個恰好是女生，則由已知可知：,且,

所以

故答案為：

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17. 在中，=60°，c=a.

（1）求sinC的值；

（2）若a=7，求的面積.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可，

（2）求出，再利用余弦定理求出，然后利用三角形面積公式可求得答案

【小問1詳解】

在中，因為，，

所以由正弦定理得.

【小問2詳解】

因為，所以.

由余弦定理得，

解得或（舍）.

所以的面積.

18. 設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且的圖像經(jīng)過點．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間．

【答案】（1）   

（2）單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為

【解析】

分析】(1)求導(dǎo)，計算得到切線斜率，點斜式求切線方程.

(2)求出函數(shù)解析式，求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)解得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【小問1詳解】

，則，得．

由題意，可得曲線在點處的切線方程為，即．

【小問2詳解】

由已知得．

又由（1）知，所以．

故．

，

由，得，或；由，得．

故在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為．

19. 已知圖1是由等腰直角三角形和菱形組成的一個平面圖形，其中菱形邊長為4，，．將三角形沿折起，使得平面平面（如圖2）．

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取的中點，連接，，則，再結(jié)合已知面面垂直可得平面，則，而，再由線面垂直的判定可得面，從而可證得，

（2）以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.

【小問1詳解】

證明：取的中點，連接，．

∵，∴．

又∵平面平面，且平面平面，平面，

∴平面．

∵平面，∴．

∵在菱形中，， ∴為等邊三角形，

∵的中點為，∴，

∵∥，∴

∵，平面，

∴平面，∵平面，∴．

【小問2詳解】

由（1）平面，∵平面，∴，

∵，

∴如圖,以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

，

∴，，．

設(shè)平面的法向量為，則

，不妨設(shè)，則．

設(shè)平面的法向量為，則

，令，則，

設(shè)二面角的大小為，由圖可知為鈍角，

∴，∴．

∴二面角的正弦值為．

20. 已知數(shù)列的首項，且滿足，設(shè).

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）若，求滿足條件的最小正整數(shù).

【答案】（1）證明見解析   

（2）140

【解析】

【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；

（2）利用分組求和的方法得到，然后利用的增減性解不等式即可.

【小問1詳解】

，

，所以數(shù)列為首項為，公比為等比數(shù)列.

【小問2詳解】

由（1）可得

，

即

∴

而隨著的增大而增大

要使，即，則，

∴的最小值為140.

21. 已知橢圓E:與y軸的正半軸相交于點M,點F1,F2為橢圓的焦點,且是邊長為2的等邊三角形,若直線l:y=kx+2與橢圓E交于不同的兩點A,B.

（1）直線MA,MB的斜率之積是否為定值?若是,請求出該定值,若不是,請說明理由；

（2）求的面積的最大值.

【答案】（1）;（2）.

【解析】

【詳解】（1）因為是邊長為2的等邊三角形，

所以，，，所以，

所以橢圓：，點.

將直線代入橢圓的方程，

整理得：，（*）

設(shè)，則由（*）式可得

，

所以，，，

所以直線的斜率之積

所以直線斜率之積是定值.

（2）記直線與軸的交點為，

則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.

所以的面積的最大值為.

22. “英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營活動．

（1）若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自該中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動．規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利，假設(shè)每輪答題結(jié)果互不影響．已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，，且，如果甲、乙兩位同學(xué)想在此次答題活動中取得6輪勝利，那么理論上至少要參加多少輪競賽？

【答案】（1）分布列見解析，   

（2）11輪

【解析】

【分析】（1）根據(jù)超幾何分布列分布列計算數(shù)學(xué)期望即可；

（2）先求每輪答題中取得勝利的概率的最大值，再應(yīng)用獨立重復(fù)實驗數(shù)學(xué)期望的范圍求出最少輪數(shù).

【小問1詳解】

由題意可知的可能取值有0、1、2、3，

，，

，

所以，隨機變量的分布列如下表所示：

所以．

【小問2詳解】

他們在每輪答題中取得勝利的概率為

，

由，，，得，

則，因此，

令，，于是當(dāng)時，．

要使答題輪數(shù)取最小值，則每輪答題中取得勝利的概率取最大值．

設(shè)他們小組在輪答題中取得勝利的次數(shù)為，則，，

由，即，解得．

而，則，所以理論上至少要進(jìn)行11輪答題．