2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

1. 設(shè)集合，U為整數(shù)集，（    ）

A.  B.

C  D.

2. 若復(fù)數(shù)，則（    ）

A. -1 B. 0          · C. 1 D. 2

3. 執(zhí)行下面的程序框遇，輸出的（    ）

A. 21 B. 34 C. 55 D. 89

4. 向量，且，則（    ）

A  B.  C.  D.

5. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，為前n項(xiàng)和，，則（    ）

A. 7 B. 9 C. 15 D. 30

6. 有60人報(bào)名足球俱樂(lè)部，60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部，若已知某人報(bào)足球俱樂(lè)部，則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部的概率為（    ）

A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1

7. “”是“”的（    ）

A. 充分條件但不是必要條件 B. 必要條件但不是充分條件

C. 充要條件 D. 既不是充分條件也不是必要條件

8. 已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)選擇種數(shù)為（    ）

A. 120 B. 60 C. 40 D. 30

10. 已知為函數(shù)向左平移個(gè)單位所得函數(shù)，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 己知橢圓，兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，則（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空題

13. 若為偶函數(shù)，則________．

14. 設(shè)x，y滿足約束條件，設(shè)，則z的最大值為_(kāi)___________．

15. 在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為_(kāi)___________．

16. 在中，，，D為BC上一點(diǎn)，AD為的平分線，則_________．

三、解答題

17. 已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項(xiàng)和，．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

18. 在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距離為1．

（1）求證：；

（2）若直線與距離為2，求與平面所成角的正弦值．

19. 為探究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）．

（1）設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）測(cè)得40只小鼠體重如下（單位：g）：（已按從小到大排好）

對(duì)照組：17.3  18.4  20.1  20.4  21.5  23.2  24.6  24.8  25.0  25.4

26.1  26.3  26.4  26.5  26.8  27.0  27.4  27.5  27.6  28.3

實(shí)驗(yàn)組：5.4   6.6   6.8    6.9  7.8   8.2   9.4  10.0  10.4  11.2

14.4  17.3  19.2  20.2  23.6  23.8  24.5  25.1  25.2  26.0

（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：

（ii）根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用．

參考數(shù)據(jù)：

20. 已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．

（1）求；

（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．

21. 已知

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求a的取值范圍．

四、選做題

22. 已知，直線（t為參數(shù)），為傾斜角，l與x軸，y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，．

（1）求的值；

（2）以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程．

23. 已知．

（1）求不等式的解集；

（2）若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．