2022甘肅高考數學沖刺試卷及答案解析

一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．若復數，則z2=   （    ）

 A．        B．       C．      D．

2．已知集合A=，B={x|x2-2x-3<0}，那么A∩(CRB)為    （    ）

 A．(-1，5)        B．(-1，3)       

 C．(-∞，-1) ∪[3，+∞)  D．[3，5]

3．與函數的圖象相同的函數是  （    ）

 A. y = x-1     B. y =       C. y = |x-1|      D. y =

4．若曲線在點處的切線方程是，則  （    ）

 A．    B．    C．    D．

5．某個容量為的樣本的頻率分布直方圖如右，則在區(qū)間[4, 5）上的數據的頻數為      （    ）

 A．70      B．       

 C．30      D．

6．設隨機變量ξ等可能取值1，2，3，…，n，

如果P（ξ<4）=0．3，那么n的值為     （    ）

 A．3                B．4                

 C．9             D．10

7．函數y =的最大值是       （    ）

 A．3              B．4              C．8            D．5

8．設a=log54，b=（log53）2，c=log45，則   （    ）

 A．a < c < b　       B．b < c < a       C．a < b < c　　　   D．b < a < c

9．若與在區(qū)間（1，2）上都是減函數，則實數的取值范圍是                                                           

        （    ）

 A．     B．      

 C．（0，1）  D．

10．已知函數，是的反函數，若（），則的值為                                               ????????????? ????????????? （    ）

 A． B．4 C．1 D．10

11．一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一個正根和一個負根的充分不必要條件是 （    ） A．a <0          B．a >0          ????????????? C．a <-1        ????????????? D．a >1

12．數列{an}中，a1=，an+an+1=，則（a1+a2+…+an） =         （    ）

 A．            B．            C．           D．

二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13．已知函數f （x）和g（x）都是定義在R上的奇函數，函數F（x） = a f （x）+bg（x） +2在區(qū)間（0，+∞）上的最大值是5，則F（x）在（－∞，0）上的最小值是            ．

14．等差數列{}中，，，則此數列的前15項之和是          ．

15．已知數列{}的前n項和（），那么數列{}的通項=      ．

16．若關于x的不等式2－>|x－a| 至少有一個負數解，則實數a的取值范圍是          ．

三、解答題：（本大題有6小題，共70分；應按題目要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17．（本題10分）解關于x的不等式： （a＞0，a≠1）．

18．（本題10分）已知函數是奇函數，當x>0時，有最小值2，且f （1）．

 （Ⅰ）試求函數的解析式；

 （Ⅱ）函數圖象上是否存在關于點（1，0）對稱的兩點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

19．（本題12分）已知數列{an}中，a1=0，a2 =4，且an+2-3an+1+2an= 2n+1（），數列{bn}滿足bn=an+1-2an．

 （Ⅰ）求證:數列{-}是等比數列；

 （Ⅱ）求數列{}的通項公式；

 （Ⅲ）求．

20．（本題12分）某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正反的概率都是，構造數列，使得，記．

 （Ⅰ）求的概率；

 （Ⅱ）若前兩次均出現(xiàn)正面，求的概率．

21．（本題12分）已知函數對任意實數p、q都滿足

 ．

 （Ⅰ）當時，求的表達式；

 （Ⅱ）設求；

 （Ⅲ）設求證：．

22．（本題14分）已知函數f （x） = ax3 +x2 -ax，其中a，x∈R．

（Ⅰ）若函數f （x） 在區(qū)間（1，2）上不是單調函數，試求a的取值范圍；

 （Ⅱ）直接寫出（不需給出運算過程）函數的單調遞減區(qū)間；

 （Ⅲ）如果存在a∈（-∞，-1]，使得函數， x∈[-1, b]

      （b > -1），在x = -1處取得最小值，試求b的最大值．

參考答案

一、選擇題：（每小題5分，共60分）

二、填空題：（每小題5分，共20分）

13．-1；  14．180；  15．；  16．

三、解答題：（共70分）

17．（本題10分）

 解：原不等式等價于……①   ……………1分 ① 當時，①式可化為

 即   亦即

 ∴ x > a+1                                       ………………5分 

 ②當時，①式可化為

 即    亦即    

 ∴                                ………………9分 

 綜上所述，當時，原不等式的解集為；

 當時，原不等式的解集為． ．………………10分

18．（本題10分）

 解：（Ⅰ）∵ f（x）是奇函數    ∴f（―x） =―f（x）

    即

                   ……………………1分

當且僅當時等號成立．則    ……2分

由得 ，即，

，解得；

又 ，            

           ……………………………………………5分

（Ⅱ）設存在一點（x0，y0）在y=f （x）圖象上，

則關于（1，0）的對稱點（，―y0）也在y =f （x）圖象上，  …………6分

則 解得：或

∴函數f （x）圖象上存在兩點和關于點（1，0）

對稱．                         …………………………………10分

19．（本題12分）

解：（Ⅰ）由 an+2-3an+1+2an= 2n+1  得 （an+2-2an+1）-（ an+1-2an）= 2n+1；

即  bn+1-bn = 2n+1，而 b1=a2-2a1=4， b2 =b1+22=8；

∴ { bn+1-bn}是以4為首項，以2為公比的等比數列．…………………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ），bn+1-bn = 2n+1， b1=4，

∴ bn = （bn-bn-1）+ （bn-1-bn-2）+···+（b2-b1） + b1

     =2n + 2n-1 +···+22 +4 = 2n+1．             ………………………6分

即 an+1-2an=2n+1，∴ ；

∴ {}是首項為0，公差為1的等差數列，

則 ，∴．         ………………………9分

（Ⅲ） ∵ ，

      ∴．    ………………………12分

20．（本題12分）

解：（Ⅰ），需4次中有3次正面1次反面，設其概率為

則；         ………………………6分

（Ⅱ）6次中前兩次均出現(xiàn)正面，要使，則后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，設其概率為．

則．  ………12分

21．（本題12分）

解：（Ⅰ）由已知得 

．         ………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知；

于是 =；

故 =6

=．                       ………………………7分

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知 ：　，設

則

  ．

兩式相減得+…+

∴ ．  ……………………12分

22．（本題14分）

解：（Ⅰ）解法一：

依題意知方程在區(qū)間（1，2）內有不重復的零點，

由得 

∵x∈（1，2），  ∴

∴；

令  （x∈（1，2）），則，

∴在區(qū)間（1，2）上是單調遞增函數，其值域為，

故a的取值范圍是．             ………………………5分

解法二：

依題意知方程即在區(qū)間（1，2）內有不重復

的零點，

當a=0時，得 x=0，但0（1，2）；

當a≠0時，方程的△=1+12a2>0，,必有兩異號根，

欲使f （x） 在區(qū)間（1，2）上不是單調函數，方程在（1，2）內一定有一根，設，則F（1）·F（2）<0，

即  （2a+2）（11a+4）<0，解得 ，

故 a的取值范圍是 ．     

（解法二得分標準類比解法一）

（Ⅱ）函數g （x） 的定義域為（0，+∞），

當 a≥0時，g （x）在（0，+∞）上單調遞增，無單調遞減區(qū)間；

當 a<0時，g （x）的單調遞減區(qū)間是  ………………8分

（Ⅲ）；

依題意 在區(qū)間[-1, b]上恒成立，

即      ①

當x∈[-1, b] 恒成立，

當 x=-1時，不等式①成立；

當 -1< x ≤b時，不等式①可化為

    ②

令 ，由a∈（-∞,-1]知，的圖像是

開口向下的拋物線，所以，在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間的端點處取得，

而，

∴不等式②恒成立的充要條件是，

即，

亦即   a∈（-∞,-1]；

當a∈（-∞,-1]時，，

∴ （b >-1），  即 b2+b-4 ≤ 0；

解得 ；

但b >-1， ∴；

故 b的最大值為，此時 a =-1符合題意．     ……………14分