2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)集合，，則（    ）

A. B. C. D.

2.已知，則（    ）

A. B. C. D.

3.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（    ）

A.2 B. C.4 D.

4.下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（    ）

A. B. C. D.

5.已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（    ）

A.13 B.12 C.9 D.6

6.若，則（    ）

A. B. C. D.

7.若過點可以作曲線的兩條切線，則（    ）

A. B. C. D.

8.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（    ）

A.甲與丙相互獨立  B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立  D.丙與丁相互獨立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中（），c為非零常數(shù)，則（    ）

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.已知為坐標原點，點，，，，則（    ）

A.  B.

C. D.

11.已知點在圓上，點，，則（    ）

A.點到直線的距離小于10

B.點到直線的距離大于2

C.當(dāng)最小時，

D.當(dāng)最大時，

12.在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（    ）

A.當(dāng)時，的周長為定值

B.當(dāng)時，三棱錐的體積為定值

C.當(dāng)時，有且僅有一個點，使得

D.當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.

14.已知為坐標原點，拋物線：（）的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且.若，則的準線方程為______.

15.函數(shù)的最小值為______.

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

已知數(shù)列滿足，

（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；

（2）求的前20項和.

18.（12分）

某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

19.（12分）

記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.

（1）證明：；

（2）若，求.

20.（12分）

如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.

（1）證明：；

（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.

21.（12分）

在平面直角坐標系中，已知點，，點滿足.記的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交于，兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.

22.（12分）

已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.

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