兀是無(wú)理數(shù)還是有理數(shù)怎么證明
2020-02-06 08:53:10文/董月π是無(wú)理數(shù)。因?yàn)?,根?jù)有理數(shù)的定義:有理數(shù)是一個(gè)整數(shù)a和一個(gè)正整數(shù)b的比,例如3/8,通則為a/b。有理數(shù)的小數(shù)部分是有限或?yàn)闊o(wú)限循環(huán)的數(shù)。而π=3.1415926...是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),不在有理數(shù)的范圍。
證明過(guò)程
假設(shè)π是有理數(shù),則π=a/b,(a,b為自然數(shù))
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,則
0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上兩式相乘得:
0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)
當(dāng)n充分大時(shí),,在[0,π]區(qū)間上的積分有
0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………(1)
又令:F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數(shù)階導(dǎo)數(shù))
由于n!f(x)是x的整系數(shù)多項(xiàng)式,且各項(xiàng)的次數(shù)都不小于n,故f(x)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0點(diǎn)處的值也都是整數(shù),因此,F(xiàn)(x)和F(π)也都是整數(shù)。
又因?yàn)?/p>
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有:
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx],(此處上限為π,下限為0)
=F(π)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0,π]區(qū)間上的積分為整數(shù),這與(1)式矛盾。所以π不是有理數(shù),又它是實(shí)數(shù),故π是無(wú)理數(shù)。
圓周率
圓周率是表示圓的周長(zhǎng)與直徑比值的數(shù)學(xué)常數(shù),用希臘字母π表示。π也等于圓形之面積與半徑平方之比,近似值約等于3.14159265359,是精確計(jì)算圓周長(zhǎng)、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值,在分析學(xué)里,π可以嚴(yán)格地定義為滿足sinx=0的最小正實(shí)數(shù)x。
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